题目内容
已知函数f（x）=ax2+（2a+1）x+1-3a，其中，a≠0．若g（x）=
，是否存在实数a，使得g[g（x）]=0只有一个实数根？若存在，请求出a的值或者a的取值范围，若不存在，请说明理由．
| f(x) |
| a |
考点：函数的零点
专题：函数的性质及应用
分析：假设存在实数a，使得g[g（x）]=0只有一个实数根，得方程解出即可．
解答：
解：假设存在实数a，使得g[g（x）]=0只有一个实数根，
∵f（x）=ax2+（2a+1）x+1-3a（a≠0），
∴g（x）=f'（x）=2ax+2a+1，
又∵g[g（x）]=0，
∴g[g（x）]=g（2ax+2a+1）=0，
∵a≠0，
∴x=-
=-1-
，
综上所述，存在实数a，使得g[g（x）]=0只有一个实数根．
∵f（x）=ax2+（2a+1）x+1-3a（a≠0），
∴g（x）=f'（x）=2ax+2a+1，
又∵g[g（x）]=0，
∴g[g（x）]=g（2ax+2a+1）=0，
∵a≠0，
∴x=-
| 2a+1 |
| 2a |
| 1 |
| 2a |
综上所述，存在实数a，使得g[g（x）]=0只有一个实数根．
点评：本题考查了函数的零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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| A、若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β |
| B、若α⊥β，m?α，m⊥β，则m∥α |
| C、若m⊥β，m?α，则α⊥β |
| D、若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n |