Question

12．如图，在平行四边形ABCD中，BD=4$\sqrt{3}$，PD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，二面角P-BC-D为60°
（1）求证：BC⊥BD；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用反证法：假设BC与PB不垂直，则过点B在平面PBC内作CE⊥PB交直线PB于点E．利用面面垂直的性质定理可得：CE⊥平面PBD，CE⊥PD．可得PD⊥平面PBC．因此平面PBC∥平面ABCD，这与平面PBC∩平面ABCD=BC相矛盾．进而得出原结论成立．
（2）由AD∥BC，可得AD∥平面PBC，点D与点A到平面PBC的距离相等．由（1）可得：∠PBD是二面角P-BC-D的平面角，为60^°．过点D在平面OBD内作DF⊥AB，垂足为F，可得DF⊥平面PBC．利用直角三角形的边角关系求出即可．

解答 （1）证明：利用反证法：假设BC与PB不垂直，则过点B在平面PBC内作CE⊥PB交直线PB于点E．
∵平面PBC⊥平面PBD，平面PBC∩平面PBD=PB，
∴CE⊥平面PBD，
∴CE⊥PD．
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．又CE∩CB=C，
∴PD⊥平面PBC．
∴平面PBC∥平面ABCD，
这与平面PBC∩平面ABCD=BC相矛盾．
因此假设不成立，∴BC⊥PB．
又PD⊥平面ABCD．
∴BC⊥BD．
（2）解：∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴点D与点A到平面PBC的距离相等．
由（1）可得：BC⊥BD，BC⊥PB，
∴∠PBD是二面角P-BC-D的平面角，为60^°．
过点D在平面OBD内作DF⊥AB，垂足为F，
∵平面PBC⊥平面PBD，∴DF⊥平面PBC．
在RT△DFB中，DF=DBsin60°=$4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=6．
∴点D到平面PBC的距离为6．
即点A到平面PBC的距离6．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角与空间距离、线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．