Question

9．已知数列{a_n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若${b_n}={2^{a_n}}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差数列{a_n}的通项a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2²ⁿ，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2（n+1）}}{{2}^{2n}}=4$；
（2）c_n=a_n+b_n=2n+4ⁿ，分组求和即可．

解答 解：（1）证明：因为等差数列{a_n}的首项和公差都为2，
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，
又因为b_n=2²ⁿ，
所以$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{2（n+1）}}{{2}^{2n}}=4$，
所以数列{b_n}是以4为首项和公比的等比数列；             …（8分）
（2）解：因为c_n=a_n+b_n=2n+4ⁿ，
等差数列{a_n}的前n项和s_n=$\frac{2+2n}{2}•n=n（n+1）$，
等比数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$
所以{c_n}的前n项和A_n=s_n+T_n=n（n+1）+$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．…（13分）

点评 本题考查了等差数列、等比数列的计算，及分组求和，属于中档题．