Question

17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\sqrt{5}$b=4c，B=2C
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；
（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC，
又$\sqrt{5}$b=4c，所以cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{b}{2c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以cosB=cos2C=2cos²C-1=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）因为c=5，$\sqrt{5}$b=4c，所以b=$4\sqrt{5}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB
则80=a²+25-2×$5×\frac{3}{5}×$ a，
化简得，a²-6a-55=0，
解得a=11或a=-5（舍去），
由BD=6得，CD=5，
由cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以△ADC的面积S=$\frac{1}{2}•DC•AC•sinC$
=$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=10．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式、余弦公式变形等，以及三角形的面积公式的应用，考查方程思想，化简、计算能力．