题目内容
求过点（1，2）与函数f（x）=x3+x的图象相切的切线方程．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，利用过点（1，2），求出切点坐标即可得到结论．
解答：
解：设切点A（x0，y0），
∵y′=3x2+1，
∴切线斜率为k=3x02+1，y0=x03+x0，
∴对应的切线方程为y-（x03+x0）=（3x02+1）（x-x0），
即y=（x03+x0）+（3x02+1）x-x0（3x02+1）=（3x02+1）x-2x03，
又切线过（1，2），
∴2=3x02+1-2x03，
即2x03-3x02+1=0，
2x02（x0-1）-（x0-1）（x0+1）=（x0-1）（2x02-x0-1）=0，
即（x0-1）2（2x0+1）=0，
解得x0=1或x0=-
，
∴切线方程为：y=4x-2或y=
x+
．
∵y′=3x2+1，
∴切线斜率为k=3x02+1，y0=x03+x0，
∴对应的切线方程为y-（x03+x0）=（3x02+1）（x-x0），
即y=（x03+x0）+（3x02+1）x-x0（3x02+1）=（3x02+1）x-2x03，
又切线过（1，2），
∴2=3x02+1-2x03，
即2x03-3x02+1=0，
2x02（x0-1）-（x0-1）（x0+1）=（x0-1）（2x02-x0-1）=0，
即（x0-1）2（2x0+1）=0，
解得x0=1或x0=-
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∴切线方程为：y=4x-2或y=
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点评：考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．
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