Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=

1

4

，且na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1．（n≥2，n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对一切n∈N⁺有a₁²+₂²+…+a_n²＜

7

6

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1（n≥2，n∈N⁺），可得

n

an

-

n-1

an+1

=1，所以

1

(n-1)an

-

1

nan+1

=

1

(n-1)n

，即

1

nan+1

=

1

(n-1)an

-

1

n(n-1)

，进一步整理，求出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）当n≥2时，an2=

1

(3n-2)2

=

1

9n2-12n+4

＜

1

9n2-15n+4

=

1

(3n-4)(3n-1)

=

1

3

(

1

3n-4

-

1

3n-1

)，据此可证得，对一切n∈N⁺有a₁²+₂²+…+a_n²＜

7

6

．

解答： 解：（1）由na_n+1-（n-1）a_n=a_na_n+1（n≥2，n∈N⁺），
可得

n

an

-

n-1

an+1

=1，
所以

1

(n-1)an

-

1

nan+1

=

1

(n-1)n

，
即

1

nan+1

=

1

(n-1)an

-

1

n(n-1)

，
整理，得

1

nan+1

-

1

n

=

1

(n-1)an

-

1

n-1

，
即当n≥2时，有

1

(n-1)an

-

1

n-1

=

1

(n-2)an-1

-

1

n-2

=…=

1

a2

-

1

1

=3，
解得an=

1

3n-2

(n≥2)，
当n=1时，上式也成立，
所以an=

1

3n-2

；
（2）∵当n≥2时，an2=

1

(3n-2)2

=

1

9n2-12n+4

＜

1

9n2-15n+4

=

1

(3n-4)(3n-1)

=

1

3

(

1

3n-4

-

1

3n-1

)，

∴当n≥2时，a₁²+₂²+…+a_n²＜1+

1

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-4

-

1

3n-1

)
=1+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)＜1+

1

3

×

1

2

=

7

6

，
当n=1时，a12=1＜

7

6

，
综上，可得对一切n∈N⁺有a₁²+₂²+…+a_n²＜

7

6

．

点评：本题主要考查了数列的通项公式以及前n项和公式的运用，考查了数列的递推式，属于中档题．