Question

已知命题P：“对任意x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“存在x∈R，x²+（a-1）x+1＜0”若“p或q”为真，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据二次函数的最值，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系即可求出p：a≤1，q：a＜-1，或a＞3，而根据“p或q”为真，“p且q”为假知道p真q假，或p假q真两种情况，所以求出每种情况的a的取值范围并求并集即可．

解答： 解：由命题p知，x²在[1，2]上的最小值为1，∴p：a≤1；
由命题q知，不等式x²+（a-1）x+1＜0有解，∴△=（a-1）²-4＞0；
∴a＞3或a＜-1；
即q：a＞3，或a＜-1；
∴若“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q一真一假；
∴

a≤1 -1≤a≤3

，或

a＞1 a＞3，或a＜-1

；
∴-1≤a≤1，或a＞3；
∴实数a的取值范围为[-1，1]∪（3，+∞）．

点评：考查二次函数在闭区间上的最值，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．