Question

已知直线l₁：y=k（x-a）和直线l₂在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又直线l₁过点P（-3，3）．如果点Q（2，2）到l₂的距离为1，求l₂的方程．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：由已知直线l₁和l₂的倾斜角互补，所以二直线的斜率互为相反数，又它们在x轴上的截距相等，于是可设直线l₂的方程为为y=-k（x-a）．利用点到直线的距离公式即可得到结论．

解答： 解：∵直线l₁：y=k（x-a）和直线l₂在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，
∴设直线l₂的方程为y=-k（x-a）．
又∵直线l₁过点P（-3，3），则3=k（-3-a）．即ak=-3-3k，①
∵点Q（2，2）到l₂的距离为1，
∴

|2k+2-ak|

1+k2

=1，②
将ak=-3-3k，代入②，得

|5k+5|

1+k2

=1，
∴12k²+25k+12=0．
解k=-

4

3

或--

3

4

．
当k=-

4

3

得a=-

3

4

．此时直线方程为4x+3y+3=0
当k=-

3

4

得a=1．此时直线方程为3x-4y-3=0．
故直线l₂的方程为为4x+3y+3=0或3x-4y-3=0．

点评：本题主要考查直线方程的求解，利用待定系数法结合点到直线的距离公式是解决本题的关键．