Question

如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，3，…），底边B_nC_n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B₁的坐标为（0，b），b＞0．
（1）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁是正整数，A₁，A₂，A₃，…，A_n依次在函数y=x²的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分析A_n 点的坐标，借助于A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，得到斜率相等，从而得出a₂ⁿ=a_n-1a_n+1，故可证数列 {a_n}是等比数列；（2）由题意，进而再写一式两式作差，可得a_n-a_n-1=2，从而可求数列{a_n}的通项公式．
解答：解：（1）A_n 点的坐标为，
  根据=，则 =，∴a_n²=a_n-1a_n+1，所以数列 {a_n}是等比数列．         
（2）依题意，，
两式作差，则有：，∴a_n-a_n-1=2
，又前三个等腰直角三角形面积之和不大于，故a₁²+（a₁+2）²+（a₁+4）²≤86，∴a₁=1，2，3
A₁在函数y=x²的图象上∴，b＞0∴a₁=3，数列{a_n}的通项公式∴a_n=2n+1
点评：本题求解的关键是题意得挖掘，利用点共线，转化为斜率相等，利用前三个等腰直角三角形面积之和不大于，寻求数列的通项