Question

（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x²+y²=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若3k=

2ac

a2+c2-b2

，求cos2

A+C

2

+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜

π

2

)，∠xOB=β(π＜β＜

3π

2

)，求sin(α+β)的值．

Answer 1

分析：（1）将k=tanB=

sinB

cosB

代入，利用余弦定理求出sinB；利用三角形的内角和为π、三角函数的诱导公式、二倍角公式求出值
（2）将直线方程与圆方程联立，消去y，利用韦达定理得到A，B的横坐标的关系，利用单位圆中的三角函数的定义，将sin（α+β）用A，B的坐标表示，求出值．

解答：解：（1）变式得：3

sinB

cosB

=

2ac

a2+c2-b2

，解得sinB=

1

3

，
原式=sin2

B

2

+sin2B=

1-cosB

2

+2sinBcosB=

9+2 2

18

；
（2）

解 x2+y2=1 y=2x+m ，5x2+4mx+m2-1=0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=- 4m 5 ，x1x2= m2-1 5 ． sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=y1x2+x1y2=(2x1+m)x2+x1(2x2+m) =4x1x2+m(x1+x2)=- 4 5

点评：在解三角形时，若已知条件中有边的平方一般思路考虑余弦定理；注意在单位圆中，角的正弦、余弦值是角终边与单位圆交点的坐标．