Question

如图，在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：

3

x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且

AP

=2

PB

，则直线l的斜率为

 

．

Answer 1

分析：设出A，B的坐标，分别代入两条直线方程，求出向量

AP

，

PB

的坐标，结合

AP

=2

PB

列式，最后把所有量都用x₂表示，代入两点求斜率公式得答案．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁=x₁，y2=-

3

3

x2   ①．
又点P（a，0）（a＞0），
则

AP

=(a-x1，-y1)，

PB

=(x2-a，y2)，
由

AP

=2

PB

，得

a-x1=2x2-2a -y1=2y2

    ②．
联立①②得：a=(

2 3

3

+2)x2．
∴直线l的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

3y2

x2+2x2-a

=

- 3 x2

3x2-( 2 3 3 +2)x2

=3(2+

3

)．
故答案为：3(2+

3

)．

点评：本题考查了平行向量与共线向量，考查了两点求直线的斜率，体现了整体运算思想方法，考查了学生的计算能力，是中档题．