Question

如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(

π

3

，

π

2

)．将角α的终边按逆时针方向旋转

π

6

，交单位圆于点B．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若x₁=

1

4

，求x₂； 
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．若S₁=S₂，求角α的值．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数定义求得 x₁=cosα，x2=cos(α+

π

6

)，再利用x₁=

1

4

，求得cosα，sinα，然后利用x₂=cos（α+

π

6

）=

3

2

cosα-

1

2

sinα求x₂；
（II）根据图形用α的三角函数表示S₁、S₂，利用S₁=S₂求得tan2α，分析2α的范围求得2α，从而求得α．

解答：解：（I）由三角函数定义，得 x₁=cosα，x2=cos(α+

π

6

)，
∵α∈（

π

3

，

π

2

），cosα=

1

4

，
∴sinα=

1-( 1 4 )2

=

15

4

，
∴x₂=cos（α+

π

6

）=

3

2

cosα-

1

2

sinα=

3 - 15

8

．
（Ⅱ）解：依题意得 y₁=sinα，y₂=sin（α+

π

6

）．
∴S₁=

1

2

x₁y₁=

1

4

sin2α，
S₂=

1

2

|x₂|y₂=

1

2

sin（α+

π

6

）|cos（α+

π

6

）|=-

1

4

sin（2α+

π

3

），
∵S₁=S₂
∴sin2α=-sin（2α+

π

3

）=-

1

2

sin2α-

3

2

cos2α，
整理得tan2α=-

3

3

，
∵

π

3

＜α＜

π

2

，
∴

2π

3

＜2α＜π，
∴2α=

5π

6

，即α=

5π

12

．

点评：本题主要考查三角函数的定义及三角函数恒等变形，考查了学生运用三角函数的知识解决问题的能力．