Question

（2013•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(

π

6

，

π

2

)．将角α的终边按逆时针方向旋转

π

3

，交单位圆于点B．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若x1=

1

3

，求x₂；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．若S₁=2S₂，求角α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x₁=cosα=

1

3

，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据x2=cos(α+

π

3

)，利用两角和的余弦公式求得结果．
（Ⅱ）依题意得 y₁=sinα，y2=sin(α+

π

3

)，分别求得S₁ 和S₂ 的解析式，再由S₁=2S₂ 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．

解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x₁=cosα，x2=cos(α+

π

3

)．
因为 α∈(

π

6

，

π

2

)，cosα=

1

3

，所以 sinα=

1-cos2α

=

2 2

3

．
所以 x2=cos(α+

π

3

)=

1

2

cosα-

3

2

sinα=

1-2 6

6

．
（Ⅱ）解：依题意得 y₁=sinα，y2=sin(α+

π

3

)． 所以 S1=

1

2

x1y1=

1

2

cosα•sinα=

1

4

sin2α，
S2=

1

2

|x2|y2=

1

2

[-cos(α+

π

3

)]•sin(α+

π

3

)=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)．
依题意S₁=2S₂ 得 sin2α=-2sin(2α+

2π

3

)，即sin2α=-2[sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

]=sin2α-

3

cos2α，
整理得 cos2α=0．
因为 

π

6

＜α＜

π

2

，所以 

π

3

＜2α＜π，所以 2α=

π

2

，即 α=

π

4

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．