Question

【题目】已知函数 .

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若，则当时，函数的图象是否总在直线上方？请写出判断过程.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）令g（x）=x，讨论m的范围，根据函数的单调性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论．

(1)函数定义域为，

.

①当，即时，,此时在上单调递增；

②当，即，

时，，此时单调递增，

时，，此时单调递减，

时，，此时单调递增.

③当，即时，，，此时单调递增，

时，，此时单调递减，

时，，此时单调递增.

综上所述，①当时，在上单调递增，

②当时，在和上单调递增，在上单调递减，

③当时，在 和上单调递增，在上单调递减.

(2)当时，由(1)知在上单调递增，在上单调递减.

令.

①当时，，所以函数图象在图象上方.

②当时，函数单调递减，所以其最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，

其中，

令，

令，则，

因，所以，单调递增；

所以，故存在，

使得，

所以在上单调递减，在单调递增，

所以，

所以时，，

即，也即，

所以函数的图象总在直线上方.