Question

【题目】在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?

（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）.

【解析】

分析：（1）在梯形中，过点作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面；（2）在线段上取点，使得，连接，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用体积相等可得，，解得.

详解：（1）因为面面，面面，，所以面，.

故四边形是正方形，所以.

在中，，∴.，

∴，∴∴.

因为，平面，平面.

∴平面,

平面，∴平面平面.

（2）在线段上存在点，使得平面

在线段上取点，使得，连接.

在中，因为，所以与相似，所以

又平面，平面，所以平面.

（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用同角相等可得，，可得.