Question

已知函数f（x）=log₂

x

2

×log

2

x

2

，其中x∈[

1

2

，8]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数的运算性质，可将函数解析式化为函数f（x）=log₂²x-3log₂x+2，利用换元法结合二次函数的图象和性质及x∈[

1

2

，8]，可得f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，则a≤f（x）_min，结合（1）中结论，可得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₂

x

2

×log

2

x

2

=log₂²x-3log₂x+2，
令t=log₂x，由x∈[

1

2

，8]得：t∈[-1，3]，
则y=f（x）=t²-3t+2，
∴当t=-1时，f（x）取最大值6，
当x=

3

2

时，f（x）取最小值-

1

4

，
（2）若实数a满足f（x）-a≥0恒成立，
即a≤f（x）恒成立，
则a≤f（x）_min，
由（1）得a≤-

1

4

，
故a的取值范围为：（-∞，-

1

4

]．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，恒成立问题，其中熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．