题目内容

5．某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：
单价x（元）88.28.48.68.89
销量y（件）908483807568
（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收入-成本）
附：线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中系数计算公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\;\overline x$，其中$\overline x$、$\overline y$表示样本均值．

分析 （Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；
（Ⅱ）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出y关于x的线性回归方程，得出利润函数L（x）的解析式，利用二次函数的性质求出L（x）的最大值与对应x的值．

解答 解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满足90≤x+y＜100的有3组，
所以P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
X的分布列为

X012
P$\frac{1}{5}$$\frac{3}{5}$$\frac{1}{5}$
数学期望为EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1；…（6分）
（Ⅱ）因为$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，$\sum_{i=1}^{6}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=0.7，$\sum_{i=1}^{6}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=-14；
所以$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{-14}{0.7}$=-20，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=250；
y关于x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250，
利润函数L（x）=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x2+330x-1000；
当x=-$\frac{330}{2×（-20）}$=8.25时，L（x）取得最大值361.25；
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，也考查了线性回归方程的求法以及二次函数的最值问题，是综合性题目．

练习册系列答案
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报账人的账单总额（元）[0，1000）[1000，2000）[2000，3000）[3000，4000）[4000，5000）[5000，6000）
 频数 2412 32 10 14 8
（Ⅰ）在如表中作出这些数据的频率分布直方图：
（Ⅱ）若将频率视为概率，从参与节目的报账人中随机抽取3位（看作有放回的抽样），求账单总额在[3000，4000）内的报账人数X的分布列、数学期望、与方差．
17．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（　　）

（注：结余=收入-支出）
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