Question

10．《幸福账单》是一档集情感故事、才艺秀、大型游戏、现场互动等多类元素的综艺大型互动游戏类节目．以普通人讲述手中账单背后的故事，并参与因此而量身为其定制的大型游戏，来赢得账单报销的形式，讲述了人与人之间的真情，展现了当今百姓生活中的万般幸福之态．某机构随机抽取100个参与节目的报账人的账单总额作为样本进行分析研究，由此得到如下频数分布表：

报账人的账单总额（元）	[0，1000）	[1000，2000）	[2000，3000）	[3000，4000）	[4000，5000）	[5000，6000）
频数	24	12	32	10	14	8

（Ⅰ）在如表中作出这些数据的频率分布直方图：
（Ⅱ）若将频率视为概率，从参与节目的报账人中随机抽取3位（看作有放回的抽样），求账单总额在[3000，4000）内的报账人数X的分布列、数学期望、与方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知先作出频率分布表为，由此能作出频率分布直方图．
（Ⅱ）将频率视为概率从参与节目的报账人中随机抽取3位（看作有放回的抽样），由频率分布直方图得账单总额在[3000，4000）内的报账人数X～B（3，0.1），由此能求出X的分布列、数学期望、与方差．

解答 解：（Ⅰ）由已知得频率分布表为：

报账人的账单总额（元）	[0，1000）	[1000，2000）	[2000，3000）	[3000，4000）	[4000，5000）	[5000，6000）
频数	24	12	32	10	14	8
频率	0.24	0.12	0.32	0.10	0.14	0.08

∴频率分布直方图为：

（Ⅱ）将频率视为概率从参与节目的报账人中随机抽取3位（看作有放回的抽样），
由频率分布直方图得账单总额在[3000，4000）内的报账人数X～B（3，0.1），
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}×0．{9}^{3}$=0.729，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×0.1×0．{9}^{2}$=0.243，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{1}^{2}×0.9$=0.027，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×0．{1}^{3}$=0.0001，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.0001

∵X～B（3，0.1），
∴EX=3×0.1=0.3，
DX=3×0.1×（1-0.1）=0.27．

点评 本题考查频率分布直方图的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的作法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．