Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式a_n²+

Sn2

n2

≥ma₁²对任意等差数列{a_n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：令

1

2

（n-1）d=m，由a_n²+

Sn2

n2

=a_n²+[a₁+

1

2

（n-1）d]²=5（m-

3a1

5

）²+2a₁²-

9a12

5

，当m=

3a1

5

时，取到最小值，由此能求出结果．

解答： 解：a_n²+

Sn2

n2

=a_n²+

1

n2

[na₁+

1

2

n（n-1）d]²
=a_n²+[a₁+

1

2

（n-1）d]²
令

1

2

（n-1）d=m，
a_n²+

Sn2

n2

=（a₁+2m）²+（a₁+m）²
=2a₁²+6ma₁+5m²
=5（m-

3a1

5

）²+2a₁²-

9a12

5

，
当m=

3a1

5

时，取到最小值
即

1

2

（n-1）d=

3a1

5

，即n=

6a1

5d

+1，
∵不等式a_n²+

Sn2

n2

≥ma₁²对任意等差数列{a_n}及任意正整数n都成立，
∴m≤

1

5

．
∴实数m的最大值为

1

5

．
故答案为：

1

5

．

点评：本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．