Question

已知数列{a_n}及f_n（x）=a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿn，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若（

1

2

）ⁿ•a_n≤

1

4

m²+

3

2

m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求证：f_n（

1

3

）＜1．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：综合题,二项式定理

分析：（1）将x=-1代入函数f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中，分别令n=1，2，3便可以求出a₁、a₂、a₃的值；利用题中的公式先求出a_n+1的表达式即可求出数列a_n的通项公式；
（2）（

1

2

）ⁿ•a_n≤

1

4

m²+

3

2

m-1对一切正整数n恒成立，等价于

1

4

m²+

3

2

m-1≥

3

4

，即可求实数m的取值范围；
（3）利用数列的差项相减法便可求出f_n（

1

3

）的表达式，进而可以证明f_n（

1

3

）＜1．

解答： （1）解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，∴a₁=1
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，∴a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，∴a₃=5
∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n
∴a_n+1=（n+1）+n
即a_n+1=2n+1
∴a_n=2n-1；
（2）解：∵（

1

2

）ⁿ•a_n≤

1

4

m²+

3

2

m-1对一切正整数n恒成立，
∴

1

4

m²+

3

2

m-1≥

3

4

，
∴m≤-7或m≥1；
（3）证明：f_n（x）=x+3x²+5x³++（2n-1）xⁿ
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ           ①

1

3

f_n（

1

3

）=（

1

3

）²+3（

1

3

）³+5（

1

3

）⁴+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹   ②
①─②，整理得f_n（

1

3

）=1-

n-1

3n

∴f_n（

1

3

）＜1．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式以及数列与函数的综合运用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．