题目内容
已知|
|=1，|
|=2，
与
的夹角为60°，求：
（1）
在
方向上的投影；
（2）
=λ
+
与
=
+2
的夹角为锐角，求λ的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）
| a |
| b |
（2）
| c |
| a |
| b |
| d |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1利用向量投影的定义可得：
在
方向上的投影=|
|cos60°；
（2）利用数量积的定义可得
•
=|
| |
|cos60°．由于
=λ
+
与
=
+2
的夹角为锐角，可得
•
＞0，且
与
不能同向共线．解出即可．
| a |
| b |
| a |
（2）利用数量积的定义可得
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| d |
| a |
| b |
| c |
| d |
| c |
| d |
解答：
解：（1）∵|
|=1，|
|=2，
与
的夹角为60°，∴
在
方向上的投影=|
|cos60°=1×
=
；
（2）
•
=|
| |
|cos60°=1×2×
=1．
∵
=λ
+
与
=
+2
的夹角为锐角，
∴
•
＞0，且
与
不能同向共线．
由
•
＞0，可得(λ
+
)•(
+2
)=λ
2+2
2+(2λ+1)
•
=λ+8+（2λ+1）×1=3λ+9＞0，解得λ＞-3．
若
与
同向共线，则(λ
+
)•(
+2
)=|λ
+
||
+2
|，
∴3λ+9=
•
，解得λ=
．
∴λ的取值范围是(-3，
)∪(
，+∞)．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∵
| c |
| a |
| b |
| d |
| a |
| b |
∴
| c |
| d |
| c |
| d |
由
| c |
| d |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
若
| c |
| d |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴3λ+9=
| λ2+4+2λ |
| 1+16+4 |
| 1 |
| 2 |
∴λ的取值范围是(-3，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了向量投影的定义、数量积的定义、向量的夹角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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