Question

2．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[$\frac{x}{y}$]表示$\frac{x}{y}$的整数部分，如：[$\frac{3}{2}$]=1，设ξ为随机变量，ξ=[$\frac{x}{y}$]．
（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；
（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，实数对（x，y）共有16种，使ξ=[$\frac{x}{y}$]=1的实数对（x，y）有以下6种，由此能求出P（ξ=1），
（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及Eξ．

解答 解：（Ⅰ）依题意，实数对（x，y）共有16种，使ξ=[$\frac{x}{y}$]=1的实数对（x，y）有以下6种：
（1，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，3），（4，4），
所以P（ξ=1）=$\frac{6}{16}$=$\frac{3}{8}$．…（3分）
（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．
ξ=0有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴P（ξ=0）=$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，
P（ξ=1）=$\frac{6}{16}$=$\frac{3}{8}$，
ξ=2有以下2种：（2，1），（4，2），∴P（ξ=2}）=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$，
ξ=3有以下1种：（3，1），∴P（ξ=3}）=$\frac{1}{16}$，
ξ=4有以下1种：（4，1），∴P（ξ=4}）=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

Eξ=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{1}{8}+3×\frac{1}{16}+4×\frac{1}{6}$=$\frac{17}{16}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求地，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．