Question

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），a₂=6，令b_n=a_n+n（n∈N^*）
（Ⅰ）写出数列{b_n}的前四项；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式，并给出证明；
（Ⅲ）是否存在非零常数p，q，使得数列{

an

pn+q

}成等差数列？若存在，求出p，q满足的关系式；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）在∵（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），中，
由∴a₁=1，a₃=15．a₄=28；
∴b₁=2，b₂=8，b₃=18，b₄=32
（Ⅱ）由（1）知b₁=2×1²，b₂=2×2²，b₃=2×3²，b₄=2×4²
．由此猜测b_n=2n²．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时猜想显然成立；
②假设n=k（k≥2）猜想成立，即b_k=2k²，则有a_k=2k²-k，
根据题意，得（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1）=（k+1）（2k²-k-1），解出a_k+1=（k+1）（2k+1），
于是b_k+1=a_k+1+k+1=（k+1）（2k+1）+（k+1）=2（k+1）²，
，即当n=k+1时猜想也成立．
综合①②得对于所有n∈N^*都有b_n=2n²
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n=2n²-n，
假设存在非零常数p，q，使得数列{

an

pn+q

}成等差数列，设其公差为d，
令c_n=

an

pn+q

=

2n2-n

pn+q

，则有c_n=c₁+（n-1）d=dn+c₁-d，
从而

2n2-n

pn+q

=dn+c₁-d，
化简得：2n²-n=dpn²+[dq+p（c₁-d）]n+q（c₁-d）．
所以有

dp=2 dq+p(c1-d)=-1 q(c1-d)=0

，
∵q≠0
∴c₁=d∴dq=-1
∴

p

q

=-2
故存在满足关系p=-2q的非零常数p，q，使得数列{

an

pn+q

}成等差数列