Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F₁AB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点，离心率e，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x²+3y²=6得得（2t²+3）y²+4ty-4=0，
由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F₁PQ面积的最小值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴2c=2，c=1，又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，∵a²=b²+c²，∴$b=\sqrt{2}$
椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x²+3y²=6得得（2t²+3）y²+4ty-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4t}{2{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-4}{2{t}^{2}+3}$，
△F₁AB的面积s=$\frac{1}{2}$2c•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{t}^{2}+1}}{2{t}^{2}+3}$，
令u=$\sqrt{1+{t}^{2}}$∈[1，+∞），则s=$\frac{4\sqrt{3}u}{2{u}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2u+\frac{1}{u}}$，
∵y=2u+$\frac{1}{u}$在[1，+∞）上是增函数，
∴当μ=1，即t=0时，△F₁AB的面积的最小值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，注意韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性的合理运用．属于中档题．