Question

2．已知f（x）=Asin（wx+φ）$（x∈R，A＞0，w＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的图象与x轴的交点中，相邻两交点距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$；
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]上至少有4个零点，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，g（x）=2sin2x+1，则函数y=sin2x的图象和直线y=-$\frac{1}{2}$在[0，b]上至少有4个交点，由$\frac{23π}{6}$≤2b＜$\frac{31π}{6}$，求得b的最小值．

解答 解：（1）根据函数的图象与x轴的交点中，相邻两交点距离为$\frac{π}{2}$，可得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{w}$=$\frac{π}{2}$，∴w=2．
再根据图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，可得A=2，2×$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+1=2sin2x+1 的图象，
若y=g（x）在[0，b]上至少有4个零点，则函数y=sin2x的图象和直线y=-$\frac{1}{2}$在[0，b]上至少有4个交点，
故$\frac{23π}{6}$≤2b＜$\frac{31π}{6}$，求得b的最小值为$\frac{23π}{12}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．