Question

11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c．已知a+$\sqrt{2}$c=2b，sinB=$\sqrt{2}$sinC，则$sin\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得a=b=$\sqrt{2}$c，代入余弦定理可得cosC，由二倍角公式和三角形内角的范围可得．

解答 解：∵在△ABC中a+$\sqrt{2}$c=2b，sinB=$\sqrt{2}$sinC，
∴由正弦定理可得a+$\sqrt{2}$c=2b，b=$\sqrt{2}$c，
联立可解得a=b=$\sqrt{2}$c，
∴由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
=$\frac{2{c}^{2}+2{c}^{2}-{c}^{2}}{2×\sqrt{2}c×\sqrt{2}c}$=$\frac{3}{4}$，
再由二倍角公式可得cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$=$\frac{3}{4}$，
解得$sin\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$sin\frac{C}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
再由三角形内角的范围可得$\frac{C}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$）
故$sin\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．