Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{8}{5}$且$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{π}{2}$，求$\frac{sin2x（1+tanx）}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 根据数量积得出sinx+cosx的值，两边平方得出sin2x的值，结合x的范围求出cosx-sinx的值，代入式子求出．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}$cosx+$\sqrt{2}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{8}{5}$，∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$．即$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）=$\frac{4}{5}$，∴sinx+cosx=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$．即$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=-$\frac{3}{5}$，∴cosx-sinx=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$．
∴1-sin2x=$\frac{18}{25}$，∴sin2x=$\frac{7}{25}$．
∴$\frac{sin2x（1+tanx）}{1-tanx}$=sin2x×$\frac{1+\frac{sinx}{cosx}}{1-\frac{sinx}{cosx}}$=sin2x×$\frac{sinx+cosx}{cosx-sinx}$=$\frac{7}{25}$×$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{5}}{-\frac{3\sqrt{2}}{5}}$=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，属于中档题．