Question

函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为

 

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Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：由两函数图象的对称性知道，它们的交点也有对称性，再研究对称轴右边的交点个数，得到所求答案．

解答： 解：设P（x₀，y₀）是函数g（x）=|log₂|x-1||的图象上任一点，
则当x=2-x₀时，y=|log₂|（2-x₀）-1||=|log₂|x₀-1||=y₀
∴点Q（2-x₀，y₀）也在函数g（x）=|log₂|x-1||的图象上．
由于点P、Q关于直线x=1对称，
∴函数g（x）=|log₂|x-1||的图象关于直线x=1对称．
当x=1时，函数f（x）=cos（πx）=cosπ=-1
∴函数f（x）=cos（πx）的图象关于直线x=1对称．
∴函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象的交点关于直线x=1对称．
当1＜x＜2时，函数f（x）=cos（πx）单调递增，f（1）=-1，f（2）=1；
而函数g（x）=|log₂|x-1||=-log₂（x-1）单调递减，g（2）=0，
故在区间（1，2）内，函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象有且只一个交点；
当2≤x≤3时，函数f（x）=cos（πx）单调递减，f（2）=1，f（3）=-1，
而函数g（x）=|log₂|x-1||=log₂（x-1）单调递增，g（2）=0，
故在区间（2，3）内，函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象有且只一个交点；
当x＞3时，g（x）=|log₂|x-1||=log₂（x-1）＞1，而函数f（x）=cos（πx）≤1，
故在区间（3，+∞）内，函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象无交点．
综上所述，函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象共有4个交点，关于直线x=1对称，
∴函数f（x）=cos（πx）与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为4．

点评：本题考查了函数图象的对称性和根的存在性，利用函数单调性研究根的存在情况，利用对称性求出相应横坐标之和．本题有一定的难度，属于中档题．