Question

已知a＞0且a≠1，函数f(x)=

ax-1

ax+1

（1）解关于x的不等式f（x）＞0； 
（2）当a=2时，求证：方程f（x）=lnx在区间（1，2）内至少有一个根．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数零点的判定定理

专题：计算题,分类讨论

分析：（1）不等式f（x）＞0，通过转化为指数不等式．求解即可；
（2）令g（x）=f（x）-lnx，根据g（1）＞0、g（3）＜0，利用函数零点的判定定理证得结论．

解答： 解：（1）不等式f（x）＞0，即

ax-1

ax+1

＞0，∵a^x+1＞0，∴不等式转化为：a^x-1＞0⇒a^x＞1=a⁰，
当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．
综上：a＞1时，不等式的解集：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，不等式的解集为：{x|x＜0}．
（2）a=2时，由方程f（x）=lnx，令g（x）=f（x）-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，
因为g（1）=

21-1

21+1

-ln1=

1

3

＞0，g（2）=

22-1

22+1

-ln2=

3

5

-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，2）上．

点评：本题主要考查指数不等式的解法，函数零点的判定定理，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．