Question

1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{{2\sqrt{39}}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求a，进而利用正弦定理可求sinB，sinC，从而计算得解．

解答 解：∵A=60°，b=1，c=4，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=1+16-2×$1×4×\frac{1}{2}$=13，可得：a=$\sqrt{13}$，
∴由正弦定理$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{4}{sinC}$，可得：sinB=$\frac{\sqrt{39}}{26}$，sinC=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{1+4}{\frac{\sqrt{39}}{26}+\frac{2\sqrt{39}}{13}}$=$\frac{{2\sqrt{39}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{39}}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．