Question

17．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{4}$）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知A、B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，过原点O做斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于C、D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意可设CD：y=kx，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距离分别为d₁，d₂，将y=kx代入椭圆方程可得x₁，x₂，进一步求出d₁，d₂，则四边形ACBD的面积S取得最大值可求．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{4{a}^{2}}+\frac{1}{16{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由题意可设CD：y=kx，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距离分别为d₁，d₂，
将y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得x²=$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，则x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x₂=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
由A（2，0），B（0，1）得|AB|=$\sqrt{5}$，且AB：x+2y-2=0，
d₁=$\frac{{x}_{1}+2{y}_{1}-2}{\sqrt{5}}$，d₂=-$\frac{{x}_{2}-2{y}_{2}-2}{\sqrt{5}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AB|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$[（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）]
=$\frac{1}{2}$（1+2k）（x₁-x₂）=$\frac{2+4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
S²=4（1+$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
∵1+4k²≥4k，当且仅当4k²=1时取等号，
∴当k=$\frac{1}{2}$时，四边形ACBD的面积S取得最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．