Question

7．已知M是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．
（I）求抛物线C的方程；
（II）已知D（-1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断圆F与直线BD的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）证明△MNF为等边三角形，即可求抛物线C的方程；
（II）分类讨论，证明F到直线BD的距离等于圆F的半径，即可得出结论．

解答 解：（I）抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为l′：x=-$\frac{p}{2}$，过M作MN⊥l′于点N，连接NF，则|MN|=|FM|，
∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF为等边三角形，
∴|NF|=4，∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（II）直线l的斜率不存在时，△ABD为等腰三角形，且|AD|=|BD|．
∴圆F与直线BD相切；
直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=1，∴x₁=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
直线AD的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$（x+1），即y₁x-（x₁+1）y+y₁=0，
∴R²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+（\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}）^{2}}$，
直线BD的方程为y₂x-（x₂+1）y+y₂=0，
F到直线BD的距离d，d²=$\frac{4{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+（\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}）^{2}}$，
∴R²=d²，
∴R=d，
∴圆F与直线BD相切，
综上所述，圆F与直线BD相切．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．