Question

19．设函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[${\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}}$]？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式及辅助角公式，将f（x）化简为，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，从而可求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，从而求得f（x）∈[m，m+3]，由题意，列方程组，即可求得m的值．

解答 解：f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m．
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m+1，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
由周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=π，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，（k∈Z），
解得：$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，（k∈Z），
函数f（x）单调递减区间[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故f（x）∈[m，m+3]，
故存在m的满足题意，即$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{m+3=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得：m=$\frac{1}{2}$，
故存在m=$\frac{1}{2}$，使得函数f（x）的值域恰为[${\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的性质的应用，以及三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性、单调区间和值域的求法，考查了整体思想，属于中档题．