Question

13．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜4，即|2x-1|＜4，即-4＜2x-1＜4，由此求得x的范围．
（2）利用绝对值三角不等式求得a的值，再变形利用基本不等式求得$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）＜4，即|2x-1|＜4，即-4＜2x-1＜4，求得-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{5}{2}$，
故不等式的解集为{x|-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{5}{2}$ }．
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）=|2x-1|+|2（x-1）-1|=|2x-1|+|2x-3|≥|（2x-1）-（2x-3）|=2，
故g（x）的最小值为a=2，
∵m+n=a=2（m＞0，n＞0），则$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{m}$+$\frac{m+n}{2n}$=1+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{2n}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{2n}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{2n}}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故求$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的取值范围为[$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．