Question

2．已知P：x∈R且x²+2x-3＜0，已知Q：x∈R且$\frac{x+2}{x-3}$＜0．
（Ⅰ）在区间（-4，4）上任取一个实数x，求命题“P且Q”为真的概率；
（Ⅱ）设在数对（a，b）中，a∈{x∈Z|P真}，b∈{x∈Z|Q真}，求“事件b-a∈{x|P或Q真}”发生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先化简两个命题，明确几何测度为区间长度，利用区间长度的比求概率；
（Ⅱ）由（1）d结论得到所有基本事件数，利用古典概型公式求解．

解答 解：（Ⅰ）P：x∈R且x²+2x-3＜0，即x∈（-3，1）；Q：x∈R且$\frac{x+2}{x-3}$＜0．即（-2，3）
在区间（-4，4）上任取一个实数x，对应区间长度为8，命题“P且Q”为真的x范围为（-2，1），区间长度为3，所以命题“P且Q”为真的概率$\frac{3}{8}$．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上易知，a=-2，-1，0，b=-1，0，1，2，则基本事件（a，b）共有12个：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）．
“P或Q”真?P真或Q真?-3＜x＜3，符合事件b-a∈{x|P或Q真}”的基本事件为：（-2，-1），（-2，0），（-1，-1），（-1，0），（-11），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2），共9个．
故事件“事件b-a∈{x|P或Q真}”发生的概率$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$．　…（12分）

点评 本题考查了几何概型和古典概型的概率求法；关键是明确概率模型，采用正确的公式求解．