Question

1．如图：已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，F是AC，BD的交点．求A₁F与B₁E所成角的余弦值．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用cos＜$\overrightarrow{F{A}_{1}}$，$\overrightarrow{E{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{F{A}_{1}}•\overrightarrow{E{B}_{1}}}{|\overrightarrow{F{A}_{1}}|•|\overrightarrow{E{B}_{1}}|}$即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=2，则D（0，0，0），A₁（2，0，2），F（1，1，0），
B₁（2，2，2），E（0，2，1）．
$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（2，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{F{A}_{1}}$，$\overrightarrow{E{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{F{A}_{1}}•\overrightarrow{E{B}_{1}}}{|\overrightarrow{F{A}_{1}}|•|\overrightarrow{E{B}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
∴A₁F与B₁E所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查了建立空间直角坐标系、利用向量夹角公式球异面直线的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．