Question

9．已知函数$f（x）=\frac{2}{x}-{x^m}$，且$f（4）=-\frac{7}{2}$，
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据$f（4）=-\frac{7}{2}$即可求出m=1；
（2）根据单调性定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，从而得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）$f（4）=\frac{2}{4}-{4}^{m}=-\frac{7}{2}$；
∴4^m=4；
∴m=1；
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减．
理由：$f（x）=\frac{2}{x}-x$，设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}}-{x}_{1}-\frac{2}{{x}_{2}}+{x}_{2}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}+（{x}_{2}-{x}_{1}）$
=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}+1）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₂-x₁＜0，$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评 考查已知函数求值，以及单调性定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程．