Question

如果△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值分别为△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值，则△A₁B₁C₁一定是锐角三角形，△A₂B₂C₂一定是（　　）

• A、锐角三角形
• B、直角三角形
• C、钝角三角形
• D、不能确定

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：解三角形

分析：依题意知，△A₁B₁C₁为锐角三角形，利用诱导公式易得由于sinA2=cosA1=sin(

π

2

-A1)，sinB2=cosB1=sin(

π

2

-B1)，sinC2=cosC1=sin(

π

2

-C1)，假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，可推得A₂+B₂+C₂=

π

2

，导出矛盾，从而推翻假设，肯定结论成立．

解答： 解：因为三角形内角的正弦均为正值，
故△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值均为正，
所以△A₁B₁C₁为锐角三角形．
由于sinA2=cosA1=sin(

π

2

-A1)，sinB2=cosB1=sin(

π

2

-B1)，sinC2=cosC1=sin(

π

2

-C1)，
若△A₂B₂C₂是锐角三角形，
则A2+B2+C2=(

π

2

-A1)+(

π

2

-B1)+(

π

2

-C1)=

π

2

，与三角形内角和为π弧度矛盾，
故△A₂B₂C₂是钝角三角形，
故选：C．

点评：本题考查三角函数与三角形的概念以及用反证法推理的基本数学思想，属于中档题．