Question

已知函数f（x）=（

3

sinωx-cosωx）cosωx+

1

2

（ω＞0）的周期为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=

3

，b+c=3，f（A）=

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由已知周期求出ω的值，即可确定出f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入并利用完全平方公式变形，将b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin（2ωx-

π

6

），
由f（x）周期为2π，得到ω=

1

2

，
则f（x）=sin（x-

π

6

）；
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，得到sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理得：b²+c²-2bccosA=a²，即b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=3，
把b+c=3代入得：bc=2，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．