Question

【题目】已知椭圆的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若为椭圆短轴的上顶点，直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）过定点（2，-1）

【解析】

（1）根据题意，分析可得c的值，进而分析可得，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；

（2）对直线斜率分类讨论，当斜率存在时，利用韦达定理表示斜率和为，得到变量间的关系，即可得到结果．

解：(1)由题意可知，

令，代入椭圆可得，

又，

两式联立解得：，

；

(2)①当斜率不存在时，设，

，

得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.

②当斜率存在时，设，

，

联立，

整理得， ，

，

，，此时，存在使得成立．

∴直线的方程为，即，

当，时，上式恒成立，

所以过定点．