Question

【题目】已知函数f(x)＝1－ (a>0，a≠1)且f(0)＝0.

(1)求a的值；

(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；

(3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝2（2）(－∞，1)（3）

【解析】

（1）根据，求得的值；（2）由（1）知，将的零点转化为函数与有交点，即可求得的取值范围；（3）通过参变分离将不等式转化为恒成立，再通过换元转化为求函数的最小值.

(1)对于函数f(x)＝1－ (a>0，a≠1)，

由f(0)＝1－＝0，得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝1－＝1－.

因为g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点，

所以函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，所以1－k>0，即k<1.

故实数k的取值范围是(－∞，1)．

(3)因为当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－>m·2x－2恒成立，亦即m<－恒成立．

令t＝2x，则t∈(1，2)，且m<－＝＝＋.

由于y＝＋在t∈(1，2)上单调递减，

所以＋＋＝，所以m≤.

故实数m的取值范围是.