Question

设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆W相交于两点.
（1）求的周长；
（2）如果为直角三角形，求直线的斜率.

Answer 1

（1）的周长为；（2）直线的斜率，或时，为直角三角形．

试题分析：（1）求的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得，，两式相加即得的周长；（2）如果为直角三角形，求直线的斜率，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，，或，或，当时，此时直线的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设，，由根与系数关系，得到关系式，再由，即可求出斜率的值，当（与相同）时，则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，求出点的坐标，从而可得直线的斜率．
（1）椭圆的长半轴长，左焦点，右焦点，       2分
由椭圆的定义，得，，               
所以的周长为.         5分
（2）因为为直角三角形，
所以，或，或，再由当时，
设直线的方程为，，，           6分
由   得 ，             7分
所以 ，.                            8分
由，得，                                9分
因为，，
所以                    


，      10分
解得.                                                 11分
当（与相同）时，
则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，
由 解得，或，                       13分
根据两点间斜率公式，得，
综上，直线的斜率，或时，为直角三角形.      14分