Question

9．已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若a=-2，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性关系，列出不等式求解即可，
（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9，
令f′（x）=-3x²+6x+9=0，解得x=-1或x=3，
当f′（x）＜0时，即x＜-1或x＞3时，函数单调递减，
故f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞），
（2）a=-2时，f（x）=-x³+3x²+9x-2，
由（1）f′（x）=-3x²+6x+9，
当f′（x）＞0时，即-1＜x＜3时，函数单调递增，
∴f（x）在[-2，-1]上单调递减，在（-1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-1）=1+3-9-2=-7，
∵f（-2）=8+12-18-2=0，
f（2）=-8+12+18-2=20，
∴f（x）_max=20．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，属于中档题．