Question

14．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且存在常数k和t，使得x=$\overrightarrow{a}$+（t-3）$\overrightarrow{b}$，y=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且x⊥y
（1）求k与t的函数关系式k=f（t）；
（2）求函数f（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算，利用$\overrightarrow{x}$$•\overrightarrow{y}$=0求出k关于t的解析式；
（2）根据函数k=f（t）的解析式求出f（t）的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${（\sqrt{3}）}^{2}$+（-1）²=4，
${\overrightarrow{b}}^{2}$=${（\frac{1}{2}）}^{2}$+${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0；
又$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t-3）$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，
∴$\overrightarrow{x}$$•\overrightarrow{y}$=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+t$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-k（t-3）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+t（t-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$
=-4k+t（t-3）=0，
解得k=$\frac{1}{4}$t（t-3）；
（2）由（1）知，k=f（t）=$\frac{1}{4}$t（t-3），
∴当t=$\frac{3}{2}$时，函数f（t）取得最小值是
f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{2}$×（$\frac{3}{2}$-3）=-$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与二次函数的最值问题，是基础题．