Question

10．已知数列{a_n}与{b_n}满足${a_{n+1}}+2{b_n}=2{b_{n+1}}+{a_n}（{n∈{N^*}}）$，若${a_1}=9，{b_n}={3^n}$（n∈N^*）且$λ{a_n}＞{3^n}+36（{n-3}）+3λ$对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是（$\frac{13}{18}$，+∞）．

Answer 1

分析 化简条件式得a_n+1-a_n=4•3ⁿ，使用累加法求出a_n的通项公式，代入条件式得出λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．利用数列的单调性得出右侧数列的最大值即可得出λ的范围．

解答 解：∵b_n=3ⁿ，∴b_n+1=3ⁿ⁺¹，代入${a_{n+1}}+2{b_n}=2{b_{n+1}}+{a_n}（{n∈{N^*}}）$，化简得a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=4•3ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=4（3^n-1+3^n-2+…+3）+9=2•3ⁿ+3．
故$λ{a_n}＞{3^n}+36（{n-3}）+3λ$可化为λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．
令c_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$，则c_n-c_n-1=$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$-$\frac{18（n-4）}{{3}^{n-1}}$=$\frac{18（9-2n）}{{3}^{n}}$，
∴当n≥5，{c_n}单调递减，当1＜n≤4时，{c_n}单调递增，
∴当n=4时c_n取得最大值c₄=$\frac{1}{2}+$$\frac{2}{9}$=$\frac{13}{18}$，
∴λ＞$\frac{13}{18}$．
故答案为（$\frac{13}{18}$，+∞）．

点评 本题考查了数列的递推公式，数列通项的求法，数列最值的计算，属于中档题．