Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取BD中点O，连结PO，AO，则可证明OP⊥平面ABCD，求出OP，OC即可求解直线PC与平面ABCD所成角的正切值．

解答 证明：取BD中点O，连结PO，AO．
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，
∴设AB=AD=PB=PD=PA=1．
∴OP⊥BD，OA⊥BD，
又∠BAD=90°，∴OA=OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OA²+OP²=PA²，∴OP⊥OA．
∴OP⊥平面ABCD，又CO?平面ABCD，
∴OP⊥OC．
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}-2OB•BCcos∠OBC}$=$\sqrt{（{\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}+4-2×\frac{\sqrt{2}}{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
直线PC与平面ABCD所成角的正切值为：tan∠POC=$\frac{PO}{OC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用，计算能力的考查．