Question

如图，过点作抛物线 的切线，切点A在第二象限.

(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线，OA，OB的斜率分别为，求椭圆方程．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)

本试题主要是结合了导数的几何意义，得到直线的方程，以及运用设而不求的联立方程组的思想求解得到斜率的关系式，从而得到求解。
（1）利用导数的几何意义得到切点的横坐标，从而得到纵坐标。
(2)因为离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线，OA，OB的斜率分别为，借助于韦达定理求解椭圆方程．
解：(Ⅰ)设切点，且，
由切线的斜率为，
得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 得，切线斜率，
设，切线方程为，由，得，…………7分
所以椭圆方程为，且过，…………9分
由，
，…………………11分
∴

将，代入得：，所以，
∴椭圆方程为．………………13分
OB的斜率分别为，求椭圆方程．