Question

（本题满分15分）设椭圆的离心率右焦点到直线的距离，为坐标原点。

（Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ)过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦AB的长度的最小值是

本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用以及椭圆方程的求解，韦达定理的综合运用。
（1）运用椭圆几何性质和点到直线的距离公式可知,a,b,c的关系式得到椭圆的方程。
（2）设出直线与椭圆联立方程组，然后借助于韦达定理和点到直线的距离，表示，然后利用，得到弦AB的长度的最小值是
解：（Ⅰ）由， ………2分
由右焦点到直线的距离得：………5分
所以椭圆C的方程为……..6分
（Ⅱ）设当直线AB的斜率存在时，设为，与椭圆
联立消去得：
由△>0得，    ………8分
,，即


整理得                  ………10分
所以O到直线AB的距离  ………12
当直线AB的斜率不存在时易得，即命题得证；………13分
又
由，
即弦AB的长度的最小值是………15分