Question

．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为.
（I）求动点轨迹的方程;
（II）过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，求证：直线过定点.

Answer 1

（1）；（2）直线过定点.

本试题主要是考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆位置关系的运用。利用椭圆的几何性质，来表示得到a,b,c的值，从而解得方程，然后设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理，运用代数的方法来表示坐标，同时借助于题目中向量的关系式，得到坐标的关系，消去坐标，得参数的关系式，进而求解得到。
解一：（1）由题知：…………2分
化简得：……………………………4分
（2）设，:，
代入整理得…………6分
，，………………………………8分
的方程为
令，
得………10分
直线过定点.………………12分
解二：设，:，
代入整理得…………6分
,，…………8分
的方程为
令，
得……10分
直线过定点.…………12分
解三：由对称性可知，若过定点，则定点一定在轴上，
设，:，
代入整理得…………6分
,，…………8分
设过定点，则，而
则

…………10分
直线过定点.…………12分