Question

f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，且x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx，则不等式f（x）cosx＞0的解集是（　　）

• A、[-3，0）
• B、[-3，-

  π

  2

  ）∪（0，

  π

  2

  ）
• C、[-3，-

  π

  2

  ）∪（

  π

  2

  ，3]
• D、（-

  π

  2

  ，0）∪（

  π

  2

  ，3]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，解不等式即可．

解答： 解：设F（x）=f（x）cosx，则F′（x）=[f（x）cosx]′=f′（x）cosx-f（x）sinx，
∵x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx，
∴x＞0时，F′（x）=[f（x）cosx]′=f′（x）cosx-f（x）sinx＜0，
即函数F（x）单调递减，
∵f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，
∴F（x）=[f（x）cosx是定义在[-3，3]上的奇函数，且F（0）=[f（0）cos0=0，
∴f（x）cosx是定义在[-3，3]上的单调递减，
则不等式f（x）cosx＞0等价为F（0）＞0，
即x＜0，
∵x∈[-3，3]，
∴x∈[-3，0）
故选：A

点评：本题主要考查不等式的解法，条件结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性是解决本题的关键．